les catégories supérieures (higher category theory)

le paradis que créent et développent pour nous autres des gens comme John Baez, David Corfield, Urs Schreiber et d’autres, c’est celui des n-catégories et des n-topoi, dites « catégories supérieures ».

C’est le domaine qui sera principalement défriché ici, sans vouloir rivaliser bien sûr avec les blogs scientifiques dont on trouve une liste ici en liens (et où l’on trouve aussi la liste des « hosts », les créateurs de notre paradis bien au dessus, à mon avis, du paradis cantorien):

http://golem.ph.utexas.edu/category/

pourquoi ?

d’abord parce que c’est un domaine mathématique en pleine expansion, où il se passe tous les jours quelque chose, et où très peu est encore découvert et connu : une sorte de nouveau Far West pour les gens « complètement à l’Ouest » !

et ça c’est vraiment fascinant !

mais encore, et surtout, parce que cela répond à notre schéma philosophique de départ :

https://tractatustoposophicus.wordpress.com/2012/11/13/ens-et-unum-non-convertuntur/

Une 0-catégorie c’est un ensemble : il n’y a que des éléments, sans morphismes pour les relier.

Il n’y a pas de « structure », ou alors la structure minimale qu’est ce que Badiou nomme le « compte-pour-un » : en amont se trouve la multiplicité pure, « inconsistante » de Cantor, en aval la multiplicité réglée par la loi du compte-pour-un, et qui forme UN ensemble.

Lawvere et Rosebrugh, dans « Sets for mathematics », parlent d’un « ensemble abstrait » (abstract sets) comme une collection non structurée de « points » eux mêmes sans structure.

C’est, pour nous et selon notre lecture de Badiou, le domaine théorique des multiplicités pures, soit selon Badiou l’ontologie : l’Etre, en tout cas l’être-dont-on-parle (et Kojève disait : « on ne peut parler que de l’être-dont-on-parle ») c’est le multiple pur, multiple de multiples de multiples etc…

Une 1-catégorie c’est une catégorie : les objets , dont la collection forme un ensemble ou une « classe » si elle est « trop grande » pour échapper au paradoxe de Russell et former un ensemble, sont reliés par des morphismes, qui sont les 1-morphismes, morphismes ou glèches de niveau 1 .

Une 2-catégorie c’est une catégorie dont les 1-morphismes sont reliés à leur tour par des 2-morphismes…

etc..etc..

Cela semble simple, mais l’on se heurte très vite à des problèmes gigantesques !

Ne peut on pas voir dans cette échelle des catégories supérieures qui monte jusqu’au ciel, jusqu »à l’Infini, jusqu’aux ∞-catégories, la constitution progressive de ce que Brunschvicg appelait « un réseau de plus en plus dense d’équations » (les équations deviennent des isomorphismes et des morphismes) qu’il fixait pour tâches aux savants, ou encore ce que Lautman appelait « montée vers l’Absolu » ?

bref la « constitution » de l’Un-qui-n’est-pas ?

la carte du nouveau pâradigme, ou nouveau paradis, c’est le nLAB :

http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

et la page des catégories supérieures est ici :

http://ncatlab.org/nlab/show/higher+category+theory

on entre dans le paradis par où l’on veut, on en sort de même…pourquoi ne pas commencer par la page sur les k-morphismes, reliant les (k-1)-morphismes, qui relient eux même les (k-2)-morphismes etc…etc..?

cela semble si simple !

oui mais si l’on ouvre la page :

http://ncatlab.org/nlab/show/k-morphism

on se trouve confronté immédiatement à une complexité déroutante, celle des formes (shapes) de modèles pris pour ces catégories supérieures : il y a les modèles géométriques, qui conduisent à tout un ensemble de formes (shapes) différentes :

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+shape+for+higher+structures

http://ncatlab.org/nlab/show/geometric+definition+of+higher+categories

et il y a les modèles algébriques :

« Many notions of algebraic higher category, such as those due to Batanin, Leinster, Penon, and Trimble, are algebras over certain monads acting on globular sets… »

comment s’orienter « en ce jardin » (GAN EDEN) où poussent toutes sortes d’arbres ?

car aucun interdit transcendant ne vient pour nous dire : « de cet arbre ci vous ne mangerez pas ou alors…. »

Voulant sortir du « milieu de la forêt » dont parle Descartes (la forêt de la condition humaine, des pulsions vitales égoïstes, à commencer par la préoccupation du « salut individuel » qui revient à tourner le dos à Dieu comme nous en prévient Brunschvicg) il semble que nous soyions en train d’entrer en une « forêt » encore plus inextricable.

https://tractatustoposophicus.wordpress.com/2012/11/15/descartes-dans-le-milieu-dune-foret/

Seulement ici, nous possédons un « fil », une boussole pour nous orienter : une préconnaissance (aussi limitée soit elle) des mathématiques, mais surtout la raison universelle qui est en chacun de nous, et qui est en « prise directe » sur les « êtres » (mathématiques)  dont nous nous occupons désormais après avoir abandonné les « choses » et les « étants » naturels

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4 réflexions au sujet de « les catégories supérieures (higher category theory) »

  1. Ping : les catégories supérieures #higher category theory# | Μαθεσις υνι√ερσαλις οντοποσοφια

  2. Ping : les catégories supérieures (higher category theory) | Floralies de l'esprit

  3. Ping : les catégories supérieures #higher category theory# | Le rayon vert

  4. Ping : Louis Crane : categorical geometry and mathematical foundations of quantum general relativity | Tractatus toposophicus

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